矩阵的作用
- 矩阵能够描述对空间的操纵
- 能够解特定的方程组
这时，我们得到一个方程式
$$
A\vec X = \vec V
$$
这里的A代表一个矩阵，矩阵A对空间进行变换，使得向量X变换后与向量V重合。
逆矩阵
如果一个矩阵的作用是向右剪切，那么这个矩阵的逆矩阵就是向左剪切。
矩阵
逆矩阵
例如有个矩阵A，那么这个矩阵的逆矩阵为
$$
A^{-1}
$$
当矩阵A和他的逆矩阵相乘，会得到一个什么也不做的矩阵。得到的矩阵为基向量，也就是单位矩阵I。
$$
A^{-1}A
=
\begin{bmatrix}
1&0\\
0&1
\end{bmatrix}
=
I
$$
方程式的解
如果矩阵有逆矩阵，那么方程有唯一解
如果想解方程式，只需要将A矩阵的逆矩阵与向量V相乘即可。
$$
A^{-1}A\vec X = A^{-1}\vec V
$$
如果这个矩阵的行列式为零，那么这个矩阵不存在逆矩阵。因为一个矩阵的行列式为零时，会将空间降维，降维后，我们不能再通过函数将空间升维，所以行列式为零的矩阵没有逆矩阵。
为什么不能升维：例如我们有一条线，我们想将这条线升为平面，这样会要求一个单独的向量映射为多个向量，但是函数只能将一个输出变换为另一个输出，所以为不能将空间升维，起码函数做不到。
如果矩阵没有逆矩阵，那么它有可能存在解
将三维空间变换为一个平面或者是一条直线，依然可能存在解，虽然变换为一条直线与平面相比，接存在的难度更高了，并且两者的行列式都为零，但是也可能存在解。
秩（Rank）
当变换的结果为一条直线时，也就是结果是一维的。我们称这个变换的秩为1。
当变换的结果为一个平面时，也就是结果是二维的。我们称这个变换的秩为2。
Rank代表变换后的空间维数。
对于2*2的矩阵来说，它的Rank最大为2。意味着基向量依旧可以张成整个二维空间。并且它的行列式不为零。
对于3*3的矩阵来说，Rank为2意味着空间降维了。
列空间
列空间表示可能的变换结果。换句话说，列空间就是矩阵的列所张成的空间。
矩阵的列告诉你基向量变换后的位置
更精确的Rank的定义是列空间的维数。当Rank达到最大值时，意味着Rank与列数相等。我们将这种情况称之为“满秩（full rank）”。
例如一个平面矩阵的列数为2，它的Rank也为2。
零空间
零向量一定为被包含在列空间中，因为线性变换一定要保持原点位置不变。
对于一个满秩矩阵来说，只有零向量才能落在原点。而对于非满秩矩阵来说，可以有无数个向量落在原点。
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变换后落在原点的向量集合，我们称为零空间。
$$
A\vec x
=
\begin{bmatrix}
0\\0
\end{bmatrix}
$$
对于这种方程式，零空间就是这个向量方程的所有可能解。