【线性代数】5.1 矩阵乘法与线性变换复合

复合变换

有多个变换称为复合变换。我们同样可以追踪i-hatj-hat,并用矩阵描述这个复合变换。

例如: 旋转与剪切的‘复合变换’

对复合变换进行拆分计算和直接使用复合矩阵得到的结果理应相同。
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我们在对向量应变变换的时候需要先应用右侧的变换,再应用左侧的变换。因为函数记号,我们将函数写在变量左侧。所以我们从右往左侧开始读。

矩阵乘法

只有在第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才可以相乘。

$$ \begin{bmatrix} 0&2\\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-2\\ 1&0 \end{bmatrix} $$

这里我们定义左侧为m2,右侧为m1。此时m1中的

$$ \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} $$

i-hat

$$ \begin{bmatrix} -2\\ 0 \end{bmatrix} $$

j-hat

所以计算的过程如下

$$ \begin{bmatrix} 1\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} & -2\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \\ + & + \\ 1\begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix} & 0\begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&0\\ 1&-2 \end{bmatrix} $$

现在我们用用变量代替数值
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计算公式

结果的第一行第一列为m2的第一行乘m1的第一列
结果的第一行第二列为m2的第一行乘m1的第二列
依次类推

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公式就是上述复合变换的推导结果

复合变换满足结合律
试想一下,我们先旋转再剪切再旋转,和先旋转再旋转再剪切,他们的结果是一样的,这没什么好证明的,可以尝试将向量放置在笛卡尔坐标系中验证。

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