【线性代数】4. 矩阵与线性变换

什么是线性变换

  • 网格线保持平行且等距
  • 一条直线在变换后仍然保持为直线
  • 原点位置保持不变

变换本质上是一个函数,输入一个内容,输出一个内容。

以下列举几个案例,他们不能称为线性变换

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以下列举的案例称为线性变换

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矩阵的线性变换

  • 变换前
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  • 变换后
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实际上不通过左侧的计算,也可以通过看坐标的方式获取变换后的矩阵

变换后的基向量乘向量后就是新的向量

例如

原本的向量为

$$ \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} $$

变换后的向量为

$$ \begin{bmatrix} 1&3\\ -2&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} $$

左侧的矩阵就代表基向量的i-hatj-hat,在坐标系发生shear(剪切变换)后,基向量发生变化。向量乘新的基向量就是新的向量。

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