叉积的几何性质
- 叉积的长度是两个向量组成的平行四边形的面积
- 叉积同时垂直于两个向量,并且满足右手定则
但是对于叉积的几何性质我们在前面只能用右手定则或者公式得出,现在我们从线性变换中推导出它的性质。
推导
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首先我们定义三个向量,其中一个向量垂直与另外两个向量,它们的行列式组成一个立方体。但是行列式虽然很像,但不是真正的叉积。
因为叉积是输入两个向量,输出一个向量。而不是接受三个向量输出一个数,但是这样做已经很接近叉积了。

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此时我们将向量u
看作一个变量,而另外两个向量保持不变。我们就得到一个三维空间到一维空间的函数了,并且这个函数是线性的。通过输入x,y,z
输出一个数。我们输入任意的x,y,z
输出一个数,得到它的体积,根据定向确认符号。

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我们知道这个函数是线性的,就可以输入一个矩阵,将三维转变成一维。

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而多维空间到一维空间的变换的特别之处是,可以将这个输入的矩阵竖起来,可以将变换看成与这个特定向量的点积。

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我们将这个特殊的三维向量称为p
,使得p
与任意的向量(x,y,z)
的点积等于一个3x3
矩阵的行列式。

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我们将等式细化


简化函数后,我们可以发现,这与计算叉积没有区别。

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所以以上的奇怪运算可以看作,当向量p
与某个向量(x,y,z)
点乘时,所得结果等于一个3x3
矩阵的行列式。这个矩阵的第一列为(x,y,z)
,其余的两列为向量v
和向量w
的坐标。

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我们要记住,向量p
的点积是将其他向量投影到向量p
上,然后将投影长度与p
的长度相乘。

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我们得出向量p
的作用,是将向量(x,y,z)
投影到垂直于v
和w
的直线上。然后将投影长度与v
和w
张成的平行四边形的面积相乘。
但是,这和垂直于v
和w
且长度为平行四边形面积的向量与(x,y,z)
点乘是用一回事。

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更重要的是,如果你选择了合适的向量方向,那么点积为正的情况就会与(x,y,z)
、v
和w
满足右手定则的情况相吻合。
