【线性代数】9.2 以线性变换的眼光看叉积

叉积的几何性质

  • 叉积的长度是两个向量组成的平行四边形的面积
  • 叉积同时垂直于两个向量,并且满足右手定则

但是对于叉积的几何性质我们在前面只能用右手定则或者公式得出,现在我们从线性变换中推导出它的性质。

推导

  1. 首先我们定义三个向量,其中一个向量垂直与另外两个向量,它们的行列式组成一个立方体。但是行列式虽然很像,但不是真正的叉积。
    因为叉积是输入两个向量,输出一个向量。而不是接受三个向量输出一个数,但是这样做已经很接近叉积了。
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  2. 此时我们将向量u看作一个变量,而另外两个向量保持不变。我们就得到一个三维空间到一维空间的函数了,并且这个函数是线性的。通过输入x,y,z输出一个数。我们输入任意的x,y,z输出一个数,得到它的体积,根据定向确认符号。
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  3. 我们知道这个函数是线性的,就可以输入一个矩阵,将三维转变成一维。
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  4. 而多维空间到一维空间的变换的特别之处是,可以将这个输入的矩阵竖起来,可以将变换看成与这个特定向量的点积。
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  5. 我们将这个特殊的三维向量称为p,使得p与任意的向量(x,y,z)的点积等于一个3x3矩阵的行列式。
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  6. 我们将等式细化
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    简化函数后,我们可以发现,这与计算叉积没有区别。
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  7. 所以以上的奇怪运算可以看作,当向量p与某个向量(x,y,z)点乘时,所得结果等于一个3x3矩阵的行列式。这个矩阵的第一列为(x,y,z),其余的两列为向量v和向量w的坐标。
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  8. 我们要记住,向量p的点积是将其他向量投影到向量p上,然后将投影长度与p的长度相乘。
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  9. 我们得出向量p的作用,是将向量(x,y,z)投影到垂直于vw的直线上。然后将投影长度与vw张成的平行四边形的面积相乘。
    但是,这和垂直于vw且长度为平行四边形面积的向量与(x,y,z)点乘是用一回事。
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  10. 更重要的是,如果你选择了合适的向量方向,那么点积为正的情况就会与(x,y,z)vw满足右手定则的情况相吻合。
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