叉积的几何性质
- 叉积的长度是两个向量组成的平行四边形的面积
- 叉积同时垂直于两个向量，并且满足右手定则
但是对于叉积的几何性质我们在前面只能用右手定则或者公式得出，现在我们从线性变换中推导出它的性质。
推导
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首先我们定义三个向量，其中一个向量垂直与另外两个向量，它们的行列式组成一个立方体。但是行列式虽然很像，但不是真正的叉积。
因为叉积是输入两个向量，输出一个向量。而不是接受三个向量输出一个数，但是这样做已经很接近叉积了。
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此时我们将向量u看作一个变量，而另外两个向量保持不变。我们就得到一个三维空间到一维空间的函数了，并且这个函数是线性的。通过输入x,y,z输出一个数。我们输入任意的x,y,z输出一个数，得到它的体积，根据定向确认符号。
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我们知道这个函数是线性的，就可以输入一个矩阵，将三维转变成一维。
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而多维空间到一维空间的变换的特别之处是，可以将这个输入的矩阵竖起来，可以将变换看成与这个特定向量的点积。
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我们将这个特殊的三维向量称为p，使得p与任意的向量(x,y,z)的点积等于一个3x3矩阵的行列式。
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我们将等式细化
简化函数后，我们可以发现，这与计算叉积没有区别。
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所以以上的奇怪运算可以看作，当向量p与某个向量(x,y,z)点乘时，所得结果等于一个3x3矩阵的行列式。这个矩阵的第一列为(x,y,z)，其余的两列为向量v和向量w的坐标。
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我们要记住，向量p的点积是将其他向量投影到向量p上，然后将投影长度与p的长度相乘。
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我们得出向量p的作用，是将向量(x,y,z)投影到垂直于v和w的直线上。然后将投影长度与v和w张成的平行四边形的面积相乘。
但是，这和垂直于v和w且长度为平行四边形面积的向量与(x,y,z)点乘是用一回事。
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更重要的是，如果你选择了合适的向量方向，那么点积为正的情况就会与(x,y,z)、v和w满足右手定则的情况相吻合。
